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凸集与凸优化

凸集的定义

凸集是集合论中的一个重要概念，定义为：集合C内任意两点间的线段均在集合C内，则称集合C为凸集。凸集的几何特性使其在多个领域具有广泛应用。

超平面、半空间与多面体

超平面是形如{ x | a^Tx = b }的集合，其中a为非零向量，b为标量。将不等式改变为a^Tx ≤ b或a^Tx ≥ b时，得到半平面。多面体则是有限个半空间和超平面的交集，显然多面体是凸集。

分割超平面

对于两个不相交的凸集C和D，存在一个超平面P将它们分开。分割超平面的方法是找到C和D之间的最短线段的垂直平分线。

支撑超平面

对于凸集C，任意边界上的点x₀，都存在一个支撑超平面{ x | a^Tx = a^Tx₀ }，其中a ≠ 0。凸集的支撑超平面性质与其凸性密切相关。

凸函数

凸函数定义为：对于任意的x₁, x₂和λ ∈ [0,1]，有f(λx₁ + (1-λ)x₂) ≤ λf(x₁) + (1-λ)f(x₂)。凸函数的图像在任意方向上都是凸的。

凸函数的性质

凸优化

凸优化问题的基本形式为：

• 最小化目标函数f₀(x)。
• 约束条件包括不等式f_i(x) ≤ 0和等式h_j(x) = 0。
• 凸优化的关键性质是可行域为凸集，且局部最优解为全局最优解。

优化问题示例

设计一个长、宽、高分别为x₁、x₂、x₃的无盖货箱，体积为5立方米，长度不小于4米。目标是最小化钢板耗料，即表面积最小化。

对偶问题

凸优化问题的对偶问题通过构造拉格朗日函数求解。对偶函数的最大值对应原问题的最小值。

鞍点与最优点

鞍点是优化问题中的关键点，若问题不考虑等式约束，鞍点定义为满足不等式约束的点。最优点是优化问题的最小值点，其性质与对偶条件密切相关。

强对偶条件

强对偶条件由KKT条件保证，确保对偶函数的最大值等于原问题的最小值。

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